اكمال المربع لحل المعادلات التربيعية

حل المعادلات التربيعية بطريقة اكمال المربع. قد يصعب في بعض الأحيان إيجاد حل بعض المعادلات من الدرجة الثانية. فنلجأ إلى طريقة جديدة وجميلة تسمى قانون المربع الكامل أو إكمال المربع.

الطريقة سهلة جداً ولكن تحتاج منا إلى بعض التركيز ويمكن بتلك الطريقة حل حتى المعادلات مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية Real والتي يمكن حلها في مجموعة الأعداد العقدية Complex. هل أنتم مستعدون للتعلم؟

---

الشكل العام للمعادلة من الدرجة الثانية

قبل تعلم كيفية حل المعادلات بطريقة إكمال المربع لابد من تذكير بسيط بالشكل العام للمعادلة من الدرجة الثانية وتكون على الشكل:

ax^2+bx+c = 0

تمثل x المجهول الذي نحاول نحاول إيجاد القيم التي من خلالها تكون المعادلة صحيح.

• a: هي ثابت عددي أو رقم لا يساوي الصفر. حيث إذا كان مساوياً للصفر ستكون المعادلة من الدرجة الأولى.
• b: هي عدد أو تسمى أمثال x
• c: هي عدد أيضا غير مضروب بأي مجهول. وقد يكون c = 0  أي غير موجود.

وكما نعرف هناك حالات لحلول المعادلة وهي:

1. إما للمعادلة حلين متساويين بالقيمة المطلقة ومختلفين بالاشارة.
2. للمعادلة حل وحيد.
3. ليس للمعادلة أي حلول. أو مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية. وعندها يكون لها حلول في المجموعة العقدية فقط. وفي المجموعة العقدية قد يكون لها حلان او حل وحيد.

---

شرط المربع الكامل

لتكن لدينا المعادلة التربيعية التالية:

x2+16x+64=0

من شروط الحل باتمام المربع أن يكون:

1. الحد الأول (اكس مربع) مربعا كاملا. وهو كذلك حيث يساوي x.x
2. ان يكون الحد الأخير الثالث مربعا كاملا ايضا وهو كذلك حيث يساوي  8×8 (وأن يكون موجبا)
3. ان يكون الحد الأوسط يساوي 2 × الحد الاول × الحد الأخير.

ونلاحظ فعلا أن المعادلة السابقة تحقق الشروط الثلاثة معا. وبالتالي يمكن تحليلها بشكل مباشر إلى شكل قوس مربع على الشكل التالي:

(x + 8)2  = 0

حيث يكون داخل القوسين الحد الأول هو جذر الحد الأول في المعادلة أي x. والحد الثاني يكون جذر الحد الأخير في معادلتنا أي جذر 64 وهو الرقم 8. أما الاشارة بين الحدين هي إشارة الحد الأوسط وكما نرى فان اشارة الحد الاوسط موجبة.

ولكن في بعض الأحوال لا سكون الحد الاخير مربعا كاملا لذا يجب أن نحوله إلى مربع كامل كما في مثالنا التالي: ليكن لدينا المعادلة:

x2-6x+d=0

أوجد قيمة d التي تجعل الحد الثالث مربعا كاملا. لإيجاد قيمة d نقوم باتباع خطوتين:

1. ايجاد نصف أمثال الحد الأوسط x
2. تربيع الناتج

وبالتالي فإن نصف أمثال الحد الأوسط يكون:

-6/2=-3

والآن نربع الناتج فيكون

(-3)2=9

وبالتالي يكون الحد الأير مربعا كاملا يجب ان تكون قيمته 9.

“قد يهمك: كورس قواعد اللغة العربية عبر الإنترنت“

---

حل المعادلة باكمال المربع

حل المعادلة باكمال المربع. الآن نأتي إلى أول مثال تطبيقي حول حل المعادلات التربيعية بطريقة اكمال المربع. ولتكن لدينا المعادلة التالية المطلوب حلها:

x2-12x=3

نلاحظ أن الحد الأول (اكس مربع) مربعا كاملا. ويبقى علينا إيجاد الحد الأخير الذي يصلح لإتمام المعادلة إلى المربع الكامل. تعلمنا إيجاد الحد الأخير d بخطوتين:

1. نقسم أمثال الحد الاوسط على 2 وبالتالي يكون -6
2. نربع الرقم الناتج لدينا فيكون 36

ولكي لا يختل توازن المعادلة نضيف 36 لطرفي المعادلة فيكون:

x2-12x+36=3+36

x2-12x+36=39

الآن نكتب الطرف الأول من المعادلة كما تعلمنا على شكل قوس مربع:

(x – 6)2  = 39

الحد الأول في القوس يساوي جذر الحد الأول من المعادلة أي جذر x2 . والحد الثاني في القوس يساوي جذر الحد الأخير من المعادلة أي جذر 36 وهو الرقم 6. والاشارة بين الحديث داخل القوس سالبة من إشارة الحد الأوسط 12x.

الآن نقوم بجذر طرفي المعادلة فيكون:

(x – 6)  = ± √ 39

x = + 6 ± √ 39

وبالتالي يكون للمعادلة حلان هما:

x1 = 6 + √ 39

x2 = 6 – √ 39

“قد يهمك: الدراسة في تركيا“

“قد يهمك: ماجستير عن بعد معتمد في السعودية”

---

تمرين حل المعادلة التربيعية بالمربع الكامل

الآن لدينا تمرين أو مثال مختلف حول حل المعادلة التربيعية بالمربع الكامل او اكمال المربع. ولتكن لدينا المعادلة من الدرجة الثانية التالية:

3×2-3x-27=0

نلاحظ أولا أن الحد الأول ليس مربعا كاملا ولا بد من تحويله إلى مربع كامل بالتخلص من أمثال (الرقم 3). لذا نقوم بتقسيم طرفي المعادلة على 3 فيكون:

1×2-1x-27/3=0

x2-x-9=0

الآن أصبح الحد الأول مربعا كاملا. إلا أن الحد الأخير -9 لا يحقق الشرط لأن إشارته سالبة . وبالتالي يجب إيجاد قيمة الحد الأخير ليحقق الشرط كما تعلمنا: نقسم أمثال الحد الأوسط -1 على 2 فيكون -0.5 ثم نربع الناتج فيكون +0.25.

الآن نضيف ونطرح من الحد الأول من المعادلة 0.25  كي لا يختل توازنها.

x2-x +0.25 -0.25 -9=0

الآن نتمم الحد المطلوب إلى مربع كامل وهذا الحد هو: x2-x +0.25 ليكون:

(x – 0.5)2

ونجمع باقي الأعداد في المعادلة -0.25 -9 مع بعضها ليكون:

(x – 0.5)2  -9.25= 0

(x – 0.5)2 = +9.25

x – 0.5 = ±√9.25

وبالتالي يكون لدينا حلان للمعادلة هما:

x1 = 0.5 + √ 9.25 = 3.54

x2 = 0.5 – √ 9.25 = -2.54

للاطلاع على المزيد من التمارين حول حل المعادلات التربيعية بطريقة قانون المربع الكامل يمكنك الاطلاع على المقال.